Вариант 79. 7. К плоскости равнобедренного треугольника ABC с основанием BC = 6 см и углом 120° при вершине проведён перпендикуляр AM. Расстояние от точки M до BC равно 12 см. Найдите косинус линейного угла двугранного угла, образованного плоскостями треугольников ABC и MBC.

Пусть H — основание перпендикуляра из A на BC. В равнобедренном треугольнике высота AH делит основание пополам и угол при вершине пополам: BH = 3 см, ∠BAH = 60°.

Тогда \(AH=BH\cdot\tan 30^\circ=3\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\sqrt3\) см.

Так как AM перпендикулярна плоскости ABC, треугольник AHM прямоугольный при A. Расстояние от M до BC — это MH, поэтому \(MH=12\) см.

Линейный угол двугранного угла — ∠AHM: обе его стороны перпендикулярны BC. Следовательно, \(\cos\angle AHM=\frac{AH}{MH}=\frac{\sqrt3}{12}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt3}{12}\).