Вариант 80. 7. Найдите объём тела, полученного при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 6 см вокруг его оси симметрии.

При вращении треугольника вокруг оси симметрии, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе, получается конус. Его высота равна половине гипотенузы, а радиус основания — половине гипотенузы.

Гипотенуза равна \(6\sqrt2\) см, поэтому \(h=r=3\sqrt2\) см.

Объём конуса: \(V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(3\sqrt2)^2(3\sqrt2)=18\sqrt2\pi\) см³.

Ответ: \(18\sqrt2\pi\) см³.