Вариант А1. 1. Стороны AB и AC треугольника ABC лежат в плоскости α. Докажите, что и медиана AM этого треугольника лежит в плоскости α. 2. Прямая a лежит в плоскости α. Прямая b пересекает плоскость α в точке B, не лежащей на прямой a. Докажите, что прямые a и b не пересекаются. 3. Докажите, что через две точки можно провести две различные плоскости. Сколько существует таких плоскостей?

1. Так как стороны AB и AC лежат в плоскости α, точки A, B и C принадлежат α. Точка M — середина стороны BC, поэтому M принадлежит прямой BC. Прямая BC целиком лежит в α, следовательно, M ∈ α. Поскольку A ∈ α и M ∈ α, прямая AM лежит в α.

2. Предположим, что прямые a и b пересекаются в точке X. Так как a лежит в α, точка X принадлежит α. Но b пересекает α только в точке B, значит, X = B. Тогда B ∈ a, что противоречит условию. Следовательно, прямые a и b не пересекаются.

3. Утверждение в таком виде неверно: через две различные точки можно провести бесконечно много плоскостей, а не ровно две. Через эти точки проходит единственная прямая; любая плоскость, содержащая эту прямую, подходит. Например, можно выбрать на прямой точку и провести через неё различные прямые, не совпадающие с исходной; каждая такая прямая вместе с исходной задаёт плоскость. Если же две точки совпадают, через одну точку также проходит бесконечно много плоскостей.

Ответ: через две точки проходит бесконечно много плоскостей.