Вариант А2. 1. Точки A, B и C лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что данные точки лежат на одной прямой. 2. Прямые AB и CD не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AC и BD не пересекаются. 3. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости. Сколько существует таких плоскостей?

1. Две различные плоскости могут иметь общей только прямую (если бы они имели три неколлинеарные общие точки, то совпали бы). Поскольку A, B и C принадлежат обеим плоскостям, эти три точки лежат на их общей прямой.

2. Предположим, что AC и BD пересекаются в точке X. Две пересекающиеся прямые AC и BD определяют плоскость. Она содержит A и B, значит, содержит прямую AB; также содержит C и D, значит, содержит CD. Тогда AB и CD лежат в одной плоскости, что противоречит условию. Следовательно, AC и BD не пересекаются.

3. Возьмём на данной прямой две точки. Через эту прямую можно провести плоскость, повернув плоскость вокруг прямой. Таким образом, существуют две различные плоскости, содержащие данную прямую; таких плоскостей бесконечно много.

Ответ: через прямую можно провести бесконечно много плоскостей.