Вариант Б1. 1. Докажите, что если через прямую a и точку A можно провести единственную плоскость, то A ∉ a. 2. Из точки A, не лежащей в плоскости α, проведены три луча, пересекающие плоскость α в точках B, C и D. Прямая b пересекает эти лучи в трёх различных точках. Докажите, что точки B, C и D лежат на одной прямой.

1. Докажем от противного. Предположим, что A ∈ a. Тогда любая плоскость, содержащая прямую a, содержит и точку A. Через прямую можно провести более одной плоскости, поэтому через a и A нельзя провести единственную плоскость. Это противоречит условию. Следовательно, A ∉ a.

2. Обозначим точки пересечения прямой b с лучами AB, AC и AD соответственно через B′, C′ и D′. По условию B′, C′ и D′ различны и лежат на b, значит, они не совпадают. Прямые b и плоскость α пересекаются в точках B, C и D: действительно, B′ лежит на луче AB, а B — единственная точка этого луча в α; аналогично для остальных лучей. Поскольку прямая b имеет с α три различные общие точки, она целиком лежит в α. Поэтому точки B, C и D принадлежат одной прямой — пересечению b и α.

Ответ: B, C и D лежат на одной прямой.