Вариант А1. 3. Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Пусть диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O и перпендикулярны.

1. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA = OB.
2. Треугольник AOB равнобедренный. Так как ∠AOB = 90°, его углы при основании равны по 45°.
3. Диагональ AC делит прямой угол A прямоугольника на два угла, один из которых равен 45°. Значит, соседние стороны прямоугольника равны: AB = AD.
4. Прямоугольник с равными соседними сторонами — квадрат.

Что и требовалось доказать.