Вариант А2. 3. Докажите, что если диагонали ромба равны, то он является квадратом.

Пусть диагонали ромба ABCD равны. Рассмотрим треугольник ABC. В нём AB = BC, поскольку ABCD — ромб, и AC = BD, поскольку диагонали равны.

1. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам. Равенство диагоналей означает, что в треугольнике AOB стороны OA и OB равны.
2. Треугольник AOB равнобедренный, а его медиана OM к основанию AB одновременно является высотой. Следовательно, OM перпендикулярна AB.
3. Точка O лежит на диагонали BD, поэтому BD перпендикулярна AB. Диагональ ромба, перпендикулярная стороне, образует с соседней стороной прямой угол; значит, угол ромба равен 90°.
4. Ромб с прямыми углами является квадратом.

Что и требовалось доказать.