Вариант А1. Даны векторы a{3; −2}, b{−1; 1}. 1) Найдите координаты векторов m = −3a, n = a + 2b. 2) Запишите разложение векторов m и n по координатным векторам i и j. 3) Найдите среди векторов k{−8; 0}, l{0; 8}, p{−3; 2}, r{−8; 8} векторы, коллинеарные векторам m и n. 4) Разложите вектор c по векторам k и l, если c = 2r.

1. Умножаем координаты вектора на число и складываем координаты соответствующих векторов:

   m = −3a = (−9; 6).

   n = a + 2b = (3; −2) + (−2; 2) = (1; 0).

2. Координаты вектора являются коэффициентами при i и j:

   m = −9i + 6j; n = i.

3. Вектор k = (−8; 0) коллинеарен m = (−9; 6)? Нет: координаты не пропорциональны. Вектор l = (0; 8) также не коллинеарен m. Вектор p = (−3; 2) = ⅓m, значит, он коллинеарен m. Вектор r = (−8; 8) не коллинеарен m.

   Для n = (1; 0) подходят только ненулевые горизонтальные векторы. Из списка это k = (−8; 0).

4. Из пункта 3 r = (−8; 8), поэтому c = 2r = (−16; 16). Ищем коэффициенты x и y, для которых c = xk + yl, где k = (−8; 0), l = (0; 8):

   (−16; 16) = x(−8; 0) + y(0; 8) = (−8x; 8y).

   Отсюда x = 2, y = 2.

   Ответ: c = 2k + 2l.

Ответ: 1) m = (−9; 6), n = (1; 0); 2) m = −9i + 6j, n = i; 3) для m — p, для n — k; 4) c = 2k + 2l.