Вариант А1, Задача 1 В треугольнике АВС ∠A = 70°, ∠C= 55°. а) Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок ВМ - высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол АВС.

Решение:

а) Доказательство:

1. В треугольнике АВС сумма углов равна 180°. Найдем угол В: \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 70° - 55° = 55° \).
2. Так как \( \angle B = \angle C = 55° \), то треугольник АВС является равнобедренным.
3. Основанием равнобедренного треугольника является сторона, противолежащая углу при вершине, то есть сторона АС.

б) Нахождение углов:

1. Отрезок ВМ - высота, значит, \( \angle BMA = 90° \) и \( \angle BMC = 90° \).
2. В прямоугольном треугольнике АВМ: \( \angle ABM = 90° - \angle A = 90° - 70° = 20° \).
3. В прямоугольном треугольнике СВМ: \( \angle CBM = 90° - \angle C = 90° - 55° = 35° \).
4. Угол АВС равен сумме углов АВМ и СВМ: \( \angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = 20° + 35° = 55° \).
5. Высота ВМ делит угол АВС на углы \( \angle ABM = 20° \) и \( \angle CBM = 35° \).

Ответ: а) Треугольник АВС равнобедренный, основание АС. б) Высота ВМ делит угол АВС на углы 20° и 35°.