Вариант Б2, Задача 1 В треугольнике АВС высота CD делит угол С на два угла, причем ∠ACD = 25°, ∠BCD = 40°. а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О. Найдите ∠BOC.

Решение:

а) Доказательство:

1. Найдем угол С треугольника АВС: \( \angle C = \angle ACD + \angle BCD = 25° + 40° = 65° \).
2. В треугольнике АВС сумма углов равна 180°. Найдем угол А: \( \angle A = 180° - \angle B - \angle C \). Угол В нам неизвестен.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD (так как CD - высота, \( \angle CDA = 90° \)). Угол А в нем равен: \( \angle A = 90° - \angle ACD = 90° - 25° = 65° \).
4. Так как \( \angle A = 65° \) и \( \angle C = 65° \), то треугольник АВС является равнобедренным.
5. Боковыми сторонами равнобедренного треугольника являются стороны, противолежащие равным углам. В данном случае, равны углы А и С, значит, боковые стороны - это ВС и АВ.

б) Нахождение \( \angle BOC \):

1. В равнобедренном треугольнике АВС (\( \angle A = \angle C = 65° \)) основанием является сторона АВ. Значит, \( \angle B = 180° - 65° - 65° = 50° \).
2. Высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре). CD - одна из высот.
3. Найдем высоту, опущенную из вершины B на АС. Обозначим ее ВЕ. \( \triangle BEC \) - прямоугольный, \( \angle BEC = 90° \). \( \angle CBE = 90° - \angle C = 90° - 65° = 25° \).
4. В треугольнике ВОС, \( \angle OBC = \angle CBE = 25° \). \( \angle OCB = \angle BCD = 40° \) (дано).
5. Найдем \( \angle BOC \) в \( \triangle BOC \): \( \angle BOC = 180° - \angle OBC - \angle OCB = 180° - 25° - 40° = 115° \).

Ответ: а) Треугольник АВС равнобедренный, боковые стороны ВС и АВ. б) \( \angle BOC = 115° \).