Вариант Б1, Задача 2 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. а) Докажите равенство треугольников АСВ и BDA. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°.

Решение:

а) Доказательство:

1. Так как О - середина отрезков АВ и CD, то \( AO = OB \) и \( CO = OD \).
2. Углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \) являются вертикальными, следовательно, \( \angle AOC = \angle BOD \).
3. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) \( \triangle AOC = \triangle BOD \), так как \( AO = OB \), \( CO = OD \) и \( \angle AOC = \angle BOD \).
4. Из равенства \( \triangle AOC = \triangle BOD \) следует, что \( AC = BD \).
5. Рассмотрим треугольники АСВ и BDA.
6. У них сторона \( AB \) - общая.
7. \( AC = BD \) (доказано выше).
8. \( \angle CAB = \angle DBA \) (так как \( \triangle AOC = \triangle BOD \), то \( \angle CAO = \angle DBO \)).
9. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) \( \triangle ACB = \triangle BDA \).

б) Нахождение \( \angle OAC \):

1. Из равенства треугольников \( \triangle AOC = \triangle BOD \) следует, что \( \angle OAC = \angle OBD \) и \( \angle OCA = \angle ODB \).
2. Нам дано \( \angle ODB = 20° \), значит, \( \angle OCA = 20° \).
3. Нам дано \( \angle AOC = 115° \).
4. В треугольнике АОС сумма углов равна 180°. Найдем \( \angle OAC \): \( \angle OAC = 180° - \angle AOC - \angle OCA = 180° - 115° - 20° = 45° \).

Ответ: а) \( \triangle ACB = \triangle BDA \) по первому признаку равенства треугольников. б) \( \angle OAC = 45° \).