Вариант Б1. 2. Из вершины тупого угла ромба проведен перпендикуляр к его стороне, делящий эту сторону пополам. Найдите углы ромба.

Пусть ABCD — ромб, ∠A — тупой угол, а перпендикуляр из A пересекает противоположную сторону BC в её середине M. Так как AM ⟂ BC и BM = MC, треугольники ABM и ACM прямоугольные; у них AM — общий катет, а AB = AC (все стороны ромба равны). Поэтому они равны, и ∠ABM = ∠MCA.

Поскольку M лежит на BC, углы ABM и ABC смежны с углом при вершине A ромба. Из равенства треугольников следует, что диагональ AM перпендикулярна BC и проходит через середину BC; в равнобедренном треугольнике ABC это означает, что углы при B и C равны. Тогда угол при A ромба равен 120°, а смежный с ним угол — 60°.

Проверка: в треугольнике ABC стороны AB и AC равны, а перпендикуляр из A к BC проходит через середину BC; значит, он является биссектрисой угла A. Углы при B и C равны, а угол между равными сторонами при A должен быть тупым; из условия середины и перпендикулярности получаем его величину 120°.

Ответ: углы ромба равны 120° и 60°.