3. Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Пусть ABCD — прямоугольник, его диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом.

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. Его гипотенуза AB является половиной диагонали, а катеты связаны с половинами диагоналей.
3. Так как диагонали равны и перпендикулярны, треугольник AOB равнобедренный, поэтому \(AB=AO\).
4. Следовательно, половины диагоналей равны сторонам прямоугольника, откуда соседние стороны равны: \(AB=BC\).

Прямоугольник с равными соседними сторонами является квадратом.

Что и требовалось доказать.