Вариант Б1, 2. В параллелограмме ABCD точки M и N лежат на сторонах BC и CD, причём BM:MC = 3:1, CN:ND = 1:2, \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). а) Выразите векторы \(\overrightarrow{BN}\) и \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\); \(\overrightarrow{DM}\) и \(\overrightarrow{NM}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Докажите, что векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\frac12\overrightarrow{AD}-\frac23\overrightarrow{AB}\) коллинеарны?

Примем A за начало отсчёта. Тогда \(B=\vec a\), \(D=\vec b\), \(C=\vec a+\vec b\).

1. Из отношения \(BM:MC=3:1\): \(\overrightarrow{BM}=\frac34\vec b\), поэтому \(\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac34\vec b\).
2. Из отношения \(CN:ND=1:2\): \(\overrightarrow{CN}=\frac13\overrightarrow{CD}=-\frac13\vec a\), поэтому \(\overrightarrow{AN}=\frac23\vec a+\vec b\).
3. \(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=-\frac13\vec a+\vec b\).
4. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=-\frac1{12}\vec a+\frac14\vec b\).
5. \(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=\vec a-\frac14\vec b\).
6. \(\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN}=\frac1{12}\vec a-\frac14\vec b\).

Проверим утверждение пункта б): \(\frac12\overrightarrow{AD}-\frac23\overrightarrow{AB}=-\frac23\vec a+\frac12\vec b\). Коэффициенты при \(\vec a\) и \(\vec b\) для этого вектора не пропорциональны соответствующим коэффициентам \(\overrightarrow{MN}\): \(\frac{-1/12}{-2/3}=\frac18\), а \(\frac{1/4}{1/2}=\frac12\). Так как \(\vec a\) и \(\vec b\) неколлинеарны, исходные векторы неколлинеарны. Следовательно, в видимом условии утверждение «коллинеарны» неверно; вероятно, в тексте или печати есть ошибка.

Ответ: \(\overrightarrow{BN}=-\frac13\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{MN}=-\frac1{12}\vec a+\frac14\vec b\), \(\overrightarrow{DM}=\vec a-\frac14\vec b\), \(\overrightarrow{NM}=\frac1{12}\vec a-\frac14\vec b\). В пункте б) указанные векторы неколлинеарны.