Вариант Б1, Задача 1: Диагонали ромба относятся как 3:4, а площадь ромба равна 24 см². Найдите периметр ромба.

Решение:

Пусть диагонали ромба \( d_1 \) и \( d_2 \) относятся как 3:4. Тогда \( d_1 = 3x \) и \( d_2 = 4x \) для некоторого \( x \).

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \).

По условию \( S = 24 \) см².

\[ 24 = \frac{1}{2} (3x)(4x) \]

\[ 24 = \frac{1}{2} (12x^2) \]

\[ 24 = 6x^2 \]

\[ x^2 = \frac{24}{6} = 4 \]

\[ x = \sqrt{4} = 2 \).

Тогда диагонали равны:

\[ d_1 = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \) см.

\[ d_2 = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \) см.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Сторона ромба \( a \) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \).

\[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]

\[ a^2 = \left(\frac{6}{2}\right)^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2 \]

\[ a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]

\[ a = \sqrt{25} = 5 \) см.

Периметр ромба равен 4 сторонам:

\[ P = 4a = 4 \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см} \]

Ответ: Периметр ромба равен 20 см.