Вариант Б1, Задача 2: Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них в отношении 7:15, средняя линия трапеции равна 44 см. Найдите основания трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \( a \) и \( b \). Средняя линия \( m = \frac{a+b}{2} \). По условию \( m = 44 \) см.

\[ \frac{a+b}{2} = 44 \]

\[ a+b = 44 \cdot 2 = 88 \) см.

Диагонали трапеции в точке пересечения делятся пропорционально основаниям. Пусть точка пересечения диагоналей — \( O \). Пусть одна диагональ \( AC \) пересекает другую \( BD \) в точке \( O \). Пусть \( AO : OC = 7:15 \).

Тогда отношение оснований равно отношению отрезков одной из диагоналей:

\[ \frac{a}{b} = \frac{AO}{OC} = \frac{7}{15} \]

Из этого следует, что \( a = \frac{7}{15} b \).

Подставим это в уравнение \( a + b = 88 \):

\[ \frac{7}{15} b + b = 88 \]

\[ \frac{7b + 15b}{15} = 88 \]

\[ \frac{22b}{15} = 88 \]

\[ b = \(\frac{88 \cdot 15}{22}\) = 4 \(\cdot\) 15 = 60 \) см.

Теперь найдем \( a \):

\[ a = 88 - b = 88 - 60 = 28 \) см.

Ответ: Основания трапеции равны 28 см и 60 см.