Вариант Б2, Задача 2: Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки 5 см и 17 см, а разность оснований трапеции равна 36 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \( a \) и \( b \). По условию \( |a - b| = 36 \) см.

Диагонали трапеции в точке пересечения делятся пропорционально основаниям. Пусть точка пересечения диагоналей — \( O \). Пусть одна диагональ \( AC \) пересекает другую \( BD \) в точке \( O \). Пусть \( AO = 5 \) см и \( OC = 17 \) см.

Тогда отношение оснований равно отношению отрезков одной из диагоналей:

\[ \frac{a}{b} = \frac{AO}{OC} = \frac{5}{17} \]

Из этого следует, что \( a = \frac{5}{17} b \).

Подставим это в уравнение \( |a - b| = 36 \). Так как \( 5 < 17 \), то \( a < b \), значит \( b - a = 36 \).

\[ b - \frac{5}{17} b = 36 \]

\[ \frac{17b - 5b}{17} = 36 \]

\[ \frac{12b}{17} = 36 \]

\[ b = \(\frac{36 \cdot 17}{12}\) = 3 \(\cdot\) 17 = 51 \) см.

Теперь найдем \( a \):

\[ a = b - 36 = 51 - 36 = 15 \) см.

Средняя линия трапеции \( m = \frac{a+b}{2} \).

\[ m = \(\frac{15 \text{ см} + 51 \text{ см}}{2}\) = \(\frac{66 \text{ см}}{2}\) = 33 \) см.

Ответ: Средняя линия трапеции равна 33 см.