Вариант Б2, Задача 1: Диагонали ромба относятся как 3:4, а периметр равен 200 см. Найдите площадь ромба.

Решение:

Пусть диагонали ромба \( d_1 \) и \( d_2 \) относятся как 3:4. Тогда \( d_1 = 3x \) и \( d_2 = 4x \) для некоторого \( x \).

Периметр ромба \( P = 200 \) см. Периметр ромба равен 4 сторонам: \( P = 4a \).

\[ 4a = 200 \text{ см} \]

\[ a = \frac{200}{4} = 50 \) см.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Сторона ромба \( a \) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \).

По теореме Пифагора:

\[ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 \]

\[ \left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{4x}{2}\right)^2 = 50^2 \]

\[ \frac{9x^2}{4} + \frac{16x^2}{4} = 2500 \]

\[ \frac{25x^2}{4} = 2500 \]

\[ x^2 = \frac{2500 \cdot 4}{25} = 100 \cdot 4 = 400 \]

\[ x = \sqrt{400} = 20 \).

Тогда диагонали равны:

\[ d_1 = 3x = 3 \cdot 20 = 60 \) см.

\[ d_2 = 4x = 4 \cdot 20 = 80 \) см.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 60 \text{ см} \cdot 80 \text{ см} = 30 \text{ см} \cdot 80 \text{ см} = 2400 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь ромба равна 2400 см².