Вариант Б1 1 На расстоянии 2/3 см от цен- тра шара проведено сечение шара, площадь которого в 4 раза меньше площади боль- шого круга. Найдите радиус шара.

Решение:

1. Пусть $$R$$ - радиус шара. Площадь большого круга $$S_{большого} = \pi R^2$$.
2. Площадь сечения шара равна $$S_{сечения} = \pi r^2$$, где $$r$$ - радиус сечения.
3. По условию, площадь сечения в 4 раза меньше площади большого круга: $$S_{сечения} = \frac{1}{4} S_{большого}$$.
4. Тогда $$\pi r^2 = \frac{1}{4} \pi R^2$$, откуда $$r^2 = \frac{1}{4} R^2$$, или $$r = \frac{1}{2} R$$.
5. Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно $$d = 2\sqrt{3}$$ см.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $$R$$, радиусом сечения $$r$$ и расстоянием от центра шара до плоскости сечения $$d$$.
7. Тогда $$R^2 = r^2 + d^2 = (\frac{1}{2} R)^2 + (2\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} R^2 + 4 \cdot 3 = \frac{1}{4} R^2 + 12$$.
8. $$\frac{3}{4} R^2 = 12$$, $$R^2 = \frac{4 \cdot 12}{3} = 4 \cdot 4 = 16$$.
9. $$R = \sqrt{16} = 4$$ см.

Ответ: 4 см.