Вариант I. 2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8√2 дм и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(2r\) и \(h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота. Его диагональ равна \(8\sqrt2\) дм и образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\).

Проекция диагонали на плоскость основания равна диаметру \(2r\). Поэтому \(\tan45^\circ=h/(2r)=1\), откуда \(h=2r\).

По теореме Пифагора для диагонали прямоугольника: \((2r)^2+h^2=(8\sqrt2)^2=128\). Подставляем \(h=2r\): \(8r^2=128\), значит \(r^2=16\) и \(r=4\) дм; тогда \(h=8\) дм.

Площадь полной поверхности цилиндра:

\(S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot16+2\pi\cdot4\cdot8=96\pi\) дм².

Ответ: \(96\pi\) дм².