Вариант I. 2. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K так, что BK = KC, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{KD}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

В ромбе противоположные стороны равны и параллельны, поэтому \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b\). Так как \(O\) — середина диагонали \(AC\), а \(K\) — середина стороны \(BC\), получаем:

1. Диагональ \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\).
2. \(\overrightarrow{BK}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\vec b\), следовательно, \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\vec a+\frac12\vec b\).
3. \(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BD}=-\frac12\vec b+(\vec b-\vec a)=\frac12\vec b-\vec a\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{KD}=\frac12\vec b-\vec a\).