Вариант I. 4. В треугольнике ABC точка O — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{AO}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AC}\).

Обозначим через M середину стороны BC. Тогда \(\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac12(\vec a+\vec b)\). Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac23\overrightarrow{AM}\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AO}=\frac23\cdot\frac12(\vec a+\vec b)=\frac13(\vec a+\vec b)\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac13(\vec a+\vec b)\).