Вариант I. 5. Упростить \(\left(\frac{a^{1/3}+2}{a+2a^{1/2}+1}-\frac{a^{1/2}-2}{a-1}\right)\cdot\frac{a^{1/2}+1}{a^{1/2}}\) при \(a>0,\ a\ne1\).

Положим \(t=\sqrt a\), тогда \(t>0\), \(t\ne1\), а \(a^{1/3}=t^{2/3}\). Получаем:

\[\left(\frac{t^{2/3}+2}{(t+1)^2}-\frac{t-2}{(t-1)(t+1)}\right)\cdot\frac{t+1}{t}.\]

Приведём разность к общему знаменателю \((t-1)(t+1)^2\):

\[\frac{(t^{2/3}+2)(t-1)-(t-2)(t+1)}{(t-1)(t+1)^2}\cdot\frac{t+1}{t}.\]

Числитель равен \(t^{5/3}-t^{2/3}+2t-2-(t^2-t-2)=t^{5/3}-t^2-t^{2/3}+3t\). Сокращая общий множитель \(t+1\) не требуется; итог:

\[\frac{t^{5/3}-t^2-t^{2/3}+3t}{t(t-1)(t+1)}.\]

Возвращаясь к \(t=\sqrt a\), получаем

Ответ: \(\displaystyle\frac{a^{5/6}-a+a^{1/2}(3-a^{1/3})}{\sqrt a\,(a-1)}\).