Вариант I. Задача 2: Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. a) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: а) Найдем высоту пирамиды. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. 2. Обозначим высоту пирамиды как $$h$$, а половину диагонали основания как $$x$$. Так как угол равен 45°, то $$h = x$$. 3. По теореме Пифагора: $$h^2 + x^2 = 4^2$$, $$h^2 + h^2 = 16$$, $$2h^2 = 16$$, $$h^2 = 8$$, $$h = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ см. б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. 1. Найдем сторону основания. Так как $$x$$ - это половина диагонали квадрата, то диагональ квадрата равна $$2x = 2h = 4\sqrt{2}$$. Сторона квадрата равна $$a = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$$ см. 2. Площадь основания равна $$a^2 = 4^2 = 16$$ см$$^2$$. 3. Найдем апофему (высоту боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. Пусть апофема равна $$l$$. Тогда: $$l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = (2\sqrt{2})^2 + (\frac{4}{2})^2 = 8 + 4 = 12$$, $$l = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ см. 4. Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: $$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} (4 \cdot 4) \cdot 2\sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$$ см$$^2$$ Ответ: а) $$2\sqrt{2}$$ см, б) $$16\sqrt{3}$$ см$$^2$$