Вариант I. Задача 3: Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение: 1. Найдем сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Поэтому сторона ромба $$a$$ равна: $$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{10}{2})^2 + (\frac{24}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ см 2. Найдем площадь основания (ромба): $$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$$ см$$^2$$ 3. Найдем высоту параллелепипеда. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Обозначим высоту параллелепипеда как $$h$$. Тогда: $$h = d_1 \cdot \tan{45°} = 10 \cdot 1 = 10$$ см 4. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда: $$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4 \cdot 13) \cdot 10 = 52 \cdot 10 = 520$$ см$$^2$$ 5. Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда: $$S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 120 + 520 = 240 + 520 = 760$$ см$$^2$$ Ответ: 760 см$$^2$$