Вариант I. Задача 1: KM и KN - отрезки касательных, проведенных из точки K к окружности с центром O. Найдите KM и KN, если OK = 12 см, ∠MON = 120°.

Дано: KM и KN - касательные к окружности с центром O, OK = 12 см, ∠MON = 120°. Найти: KM и KN. Решение: 1. Поскольку KM и KN - касательные к окружности, то радиусы OM и ON перпендикулярны этим касательным. Следовательно, ∠OMK = ∠ONK = 90°. 2. Рассмотрим четырехугольник OMKN. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Значит, ∠MKN = 360° - ∠OMK - ∠ONK - ∠MON = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK. ∠MOK = ∠MON / 2 = 120° / 2 = 60°. 4. Используем тригонометрические функции для нахождения KM. \(tan(\angle MOK) = \frac{KM}{OM}\) \(KM = OM * tan(\angle MOK)\) 5. Найдем OM из прямоугольного треугольника OMK: \(cos(\angle MOK) = \frac{OM}{OK}\) \(OM = OK * cos(\angle MOK) = 12 * cos(60°) = 12 * \frac{1}{2} = 6\) см. 6. Найдем KM: \(KM = OM * tan(60°) = 6 * \sqrt{3}\) см. 7. Поскольку касательные KM и KN проведены из одной точки K, то KM = KN = \(6\sqrt{3}\) см. Ответ: KM = KN = \(6\sqrt{3}\) см.