Вариант II. Задача 1: Найдите отрезки касательных AB и AC, проведенных из точки A к окружности радиуса r, если r = 9 см, ∠BAC = 120°.

Дано: AB и AC - касательные к окружности радиуса r = 9 см, ∠BAC = 120°. Найти: AB и AC. Решение: 1. Пусть O - центр окружности. Тогда радиусы OB и OC перпендикулярны касательным AB и AC соответственно. Следовательно, ∠OBA = ∠OCA = 90°. 2. Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Значит, ∠BOC = 360° - ∠OBA - ∠OCA - ∠BAC = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. ∠BAO = ∠BAC / 2 = 120° / 2 = 60°. 4. Используем тригонометрические функции для нахождения AB. \(tan(\angle BAO) = \frac{OB}{AB}\) \(AB = \frac{OB}{tan(\angle BAO)}\) 5. Найдем AB: \(AB = \frac{9}{tan(60°)} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\) см. 6. Поскольку касательные AB и AC проведены из одной точки A, то AB = AC = \(3\sqrt{3}\) см. Ответ: AB = AC = \(3\sqrt{3}\) см.