Вариант II. Задача 2: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром C и радиусом, равным AD.

Дано: треугольник ABC - равнобедренный, AC - основание, BD - медиана. Доказать: прямая BD касается окружности с центром C и радиусом AD. Доказательство: 1. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Значит, BD перпендикулярна AC, и AD = DC. 2. Рассмотрим окружность с центром C и радиусом AD. Поскольку AD = DC, то радиус окружности равен DC. 3. Так как BD перпендикулярна AC, а AC - прямая, проходящая через центр C окружности, и точка D лежит на окружности, то BD является касательной к этой окружности. Следовательно, прямая BD касается окружности с центром C и радиусом AD. Что и требовалось доказать.