Вариант II. 1. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка C₁ так, что C₁B = 3 см. Прямая, параллельная диагонали AC, проходит через точку C₁ и пересекает сторону AB в точке A₁. а) Докажите, что △ADC ~ △C₁BA₁. б) Найдите AD, если A₁C₁ = 4 см, AC = 12 см.

а) Так как A₁C₁ ∥ AC, соответствующие углы треугольников равны. Кроме того, AD ∥ BC, а DC ∥ AB; при этом C₁B лежит на BC, а BA₁ — на AB. Поэтому △ADC ~ △C₁BA₁ по двум углам.

б) Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны:

\(\dfrac{C_1B}{AD}=\dfrac{A_1C_1}{AC}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\).

Следовательно, \(AD=3\cdot3=9\) см.

Ответ: AD = 9 см.