Вариант II, Задача 3: Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна $$16\sqrt{2}$$ см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Пусть $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба, $$D$$ - большая диагональ параллелепипеда, $$h$$ - высота параллелепипеда, а $$\alpha$$ - угол между большой диагональю и боковым ребром. Дано: $$d_1 = 12$$ см, $$D = 16\sqrt{2}$$ см, $$\alpha = 45^\circ$$. Сначала найдем высоту параллелепипеда $$h$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, большой диагональю и боковым ребром. Тогда $$\cos(\alpha) = \frac{h}{D}$$, откуда $$h = D\cos(\alpha) = 16\sqrt{2} * \cos(45^\circ) = 16\sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} = 16$$ см. Теперь найдем вторую диагональ ромба $$d_2$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей ромба и стороной ромба $$a$$. Также рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большей диагональю параллелепипеда, высотой и большей диагональю ромба. $$D^2 = h^2 + d_2^2/4+d_1^2/4$$ $$D^2 = h^2 + d_2^2$$ Сторона ромба $$a$$ может быть найдена по формуле $$4a^2 = d_1^2+d_2^2$$. Тогда диагональ $$D$$ связана с $$h$$ и $$d_2$$ через теорему Пифагора $$D^2 = h^2 + d_2^2$$, или $$(16\sqrt{2})^2 = 16^2 + d_2^2$$, откуда $$512 = 256 + d_2^2$$, $$d_2^2 = 256$$, $$d_2 = 16$$ см. Площадь основания (ромба) $$S_{осн} = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2} * 12 * 16 = 96$$ см$$^2$$. Сторона ромба $$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$ см. Периметр основания $$P = 4a = 4 * 10 = 40$$ см. Площадь боковой поверхности $$S_{бок} = Ph = 40 * 16 = 640$$ см$$^2$$. Площадь полной поверхности параллелепипеда $$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 * 96 + 640 = 192 + 640 = 832$$ см$$^2$$. Ответ: 832 см$$^2$$