Вариант II, Задача 1: Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань - квадрат.

Для начала найдем второй катет прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где $$c$$ - гипотенуза. $$12^2 + b^2 = 13^2$$ $$144 + b^2 = 169$$ $$b^2 = 169 - 144$$ $$b^2 = 25$$ $$b = 5$$ см. Итак, стороны основания призмы равны 5 см, 12 см и 13 см. По условию, наименьшая боковая грань - квадрат. Это означает, что наименьшая сторона основания (5 см) равна высоте призмы. Следовательно, высота призмы $$h = 5$$ см. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней. Так как призма прямая, боковые грани - прямоугольники. Площадь каждой боковой грани равна произведению стороны основания на высоту призмы. $$S_{бок} = (5 + 12 + 13) * 5 = 30 * 5 = 150$$ см$$^2$$. Ответ: 150 см$$^2$$