Вариант II, Задача 2: Высота правильной четырехугольной пирамиды равна $$\sqrt{6}$$ см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. a) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

a) Пусть $$H$$ - высота пирамиды, $$l$$ - боковое ребро, $$a$$ - сторона основания, $$\alpha$$ - угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Дано: $$H = \sqrt{6}$$ см, $$\alpha = 60^\circ$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Обозначим половину диагонали основания как $$d/2$$. Тогда $$\tan(\alpha) = \frac{H}{d/2}$$, откуда $$d/2 = \frac{H}{\tan(\alpha)} = \frac{\sqrt{6}}{\tan(60^\circ)} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$$. Итак, половина диагонали основания равна $$\sqrt{2}$$, следовательно, диагональ основания $$d = 2\sqrt{2}$$. Так как основание - квадрат, то $$a\sqrt{2} = d$$, откуда $$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$$ см. Теперь найдем боковое ребро $$l$$. Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой, половиной диагонали и боковым ребром: $$l^2 = H^2 + (d/2)^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2 = 8$$ $$l = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ см. б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна $$S_{бок} = \frac{1}{2}Pl$$, где $$P$$ - периметр основания, $$l_a$$ - апофема. Найдем апофему $$l_a$$ из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды: $$l_a^2 = H^2 + (a/2)^2 = (\sqrt{6})^2 + (2/2)^2 = 6 + 1 = 7$$ $$l_a = \sqrt{7}$$ см. Периметр основания $$P = 4a = 4 * 2 = 8$$ см. Площадь боковой поверхности $$S_{бок} = \frac{1}{2} * 8 * \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$$ см$$^2$$. Ответ: a) $$2\sqrt{2}$$ см, б) $$4\sqrt{7}$$ см$$^2$$