Вариант IV. 1. Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число? 2. Начертите два неколлинеарных вектора \(\vec p\) и \(\vec q\) и отметьте точку O. Отложите от точки O вектор \(\overrightarrow{OA}=1{,}5\vec p-2\vec q\). 3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а точка M делит сторону AD в отношении AM:MD=1:2. Выразите вектор \(\overrightarrow{OM}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

1. Произведением вектора \(\vec a\) на число \(k\) называется вектор, длина которого равна \(|k|\cdot|\vec a|\). При \(k>0\) он сонаправлен с \(\vec a\), при \(k<0\) направлен противоположно; при \(k=0\) получается нулевой вектор.

2. На схеме приведён условный пример: \(\vec p\) и \(\vec q\) неколлинеарны; сначала построен вектор \(1{,}5\vec p\), затем к нему прибавлен вектор \(-2\vec q\). Поэтому результирующий вектор идёт из O в A.

3. Возьмём A за начало отсчёта. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\). Из отношения \(AM:MD=1:2\) следует \(\overrightarrow{AM}=\frac13\vec b\). Тогда

\(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AO}=\frac13\vec b-\frac12(\vec a+\vec b)=-\frac12\vec a-\frac16\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{OM}=-\frac12\vec a-\frac16\vec b\).