Вариант 6 1.Найти значение выражения: a) cos225°; 6) sin(5π/6); 6) ctg150°. 2. Вычислить cosa, sin2a, если sina=-4/5 и 3π/2<α<2π 3.Упростить выражение (cos(a-ß)-sin a sin ß)/ctgß 4. Доказать тождество (cos 2a-sin(3π/2 - α)+ cos²(π-α))/(sin 2a-cos(π/2 - α)) = 1/2 ctga 5. Решить уравнение cos x cos 3x = 1 sin x sin 3x

Вариант 6

1. Найти значение выражения:

• a) cos225° = -√2/2
• б) sin(5π/6) = 1/2
• в) ctg150° = -√3

2. Вычислить cosa, sin2a, если sina=-4/5 и 3π/2<α<2π

• Так как 3π/2 < α < 2π, то α находится в IV четверти, где косинус положителен.
• cosa = √(1 - sin²a) = √(1 - (-4/5)²) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5
• sin2a = 2sina cosa = 2(-4/5)(3/5) = -24/25

3. Упростить выражение (cos(a-ß)-sin a sin ß)/ctgß

(cos(a-ß)-sin a sin ß)/ctgß = (cosa cosß + sina sinß - sina sinß)/ctgß = (cosa cosß)/ctgß = (cosa cosß)/(cosß/sinß) = cosa sinß

4. Доказать тождество (cos 2a-sin(3π/2 - α)+ cos²(π-α))/(sin 2a-cos(π/2 - α)) = 1/2 ctga

Упростим левую часть уравнения:

• sin(3π/2 - α) = -cosa
• cos(π - α) = -cosa
• cos²(π - α) = cos²a
• cos(π/2 - α) = sina

Тогда:

(cos 2a - (-cosa) + cos²a) / (sin 2a - sina) = (cos 2a + cosa + cos²a) / (sin 2a - sina)

Используем cos 2a = 2cos²a - 1:

(2cos²a - 1 + cosa + cos²a) / (2sina cosa - sina) = (3cos²a + cosa - 1) / (sina(2cosa - 1))

Данное выражение не упрощается до 1/2 ctga.

5. Решить уравнение cos x cos 3x = 1 sin x sin 3x

cos x cos 3x = 1 - sin x sin 3x

cos x cos 3x + sin x sin 3x = 1

cos(3x - x) = 1

cos(2x) = 1

2x = 2πk, где k ∈ Z

x = πk, где k ∈ Z