Вариант В1. 1. Докажите неравенства: а) 4ab ≤ (a + b)²; б) 4x² + 1/x² ≥ 4.

а) Перенесём левую часть в правую и раскроем скобки:

\((a+b)^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\).

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому \((a-b)^2\ge 0\), откуда \(4ab\le (a+b)^2\).

б) Область допустимых значений: \(x\ne 0\). Представим разность в виде квадрата:

\(4x^2+\frac{1}{x^2}-4=\frac{4x^4-4x^2+1}{x^2}=\frac{(2x^2-1)^2}{x^2}\ge 0\).

Знаменатель положителен при \(x\ne0\), а числитель — квадрат. Следовательно, \(4x^2+\frac{1}{x^2}\ge4\).