Вариант В1. 2. На рисунке BN — биссектриса угла MBC. а) Найдите ∠NBC, если градусные меры углов ABM и NBC относятся как 8:5. б) Постройте луч BK — продолжение луча BM, и назовите все образованные пары вертикальных углов. в) Найдите угол между биссектрисами углов ABK и MBN.

а) Обозначим ∠ABM = 8x, а ∠NBC = 5x. Так как BN — биссектриса угла MBC, ∠MBN = ∠NBC = 5x. Углы ABM, MBN и NBC составляют развернутый угол:

8x + 5x + 5x = 180°, откуда 18x = 180° и x = 10°.

Следовательно, ∠NBC = 5 · 10° = 50°.

б) Прямые AC и MK пересекаются в точке B. Пары вертикальных углов: ∠ABM и ∠KBC; ∠MBC и ∠ABK.

в) ∠ABK = 180° − ∠ABM = 180° − 80° = 100°. Его биссектриса образует с лучом BA угол 50°. Биссектриса угла MBN делит угол 50° пополам, поэтому образует с лучом BC угол 75°. Между этими биссектрисами получается угол 180° − 50° − 75° = 55°? Проверим направления: биссектриса ∠ABK расположена на 50° от BA, то есть на направлении 230° при BC, направленном под 0°; биссектриса ∠MBN направлена под 75°. Разность направлений равна 155°.

Ответ: а) 50°; б) ∠ABM и ∠KBC, ∠MBC и ∠ABK; в) 155°.