Вариант 9 Задача 1:. Материальная точка движется прямолинейно по закону S = 313-12t-5, (где Ѕ расстояние от точки отсчета в метрах, - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите: а) скорость движения при t=2 сек; б) ускорение при t=3 сек

Для решения задачи необходимо знать формулы скорости и ускорения, как производные от пути:

• $$v(t) = S'(t)$$, где $$v(t)$$ - скорость в момент времени $$t$$, $$S'(t)$$ - производная пути по времени.
• $$a(t) = v'(t) = S''(t)$$, где $$a(t)$$ - ускорение в момент времени $$t$$, $$v'(t)$$ - производная скорости по времени, $$S''(t)$$ - вторая производная пути по времени.

Найдем сначала первую и вторую производные от функции пути $$S(t) = 3t^3 - 12t - 5$$.

1. Найдем первую производную:

   $$S'(t) = (3t^3 - 12t - 5)' = 9t^2 - 12$$

   Это и есть функция скорости: $$v(t) = 9t^2 - 12$$.

2. Найдем вторую производную:

   $$S''(t) = (9t^2 - 12)' = 18t$$

   Это и есть функция ускорения: $$a(t) = 18t$$.

3. Теперь можем ответить на вопросы задачи:

   1. а) Найдем скорость движения при $$t = 2$$ сек:

      $$v(2) = 9(2)^2 - 12 = 9 \cdot 4 - 12 = 36 - 12 = 24 \text{ м/с}$$

   2. б) Найдем ускорение при $$t = 3$$ сек:

      $$a(3) = 18 \cdot 3 = 54 \text{ м/с}^2$$

Ответ: а) 24 м/с; б) 54 м/с²