Задача 4: Исследуйте функцию на монотонность y = x⁴ – 2x² – 3.

Задача 4:

Чтобы исследовать функцию на монотонность, найдем её производную и определим интервалы, где производная положительна (функция возрастает) и где отрицательна (функция убывает).

Находим первую производную функции: $$y' = 4x^3 - 4x$$ Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$4x^3 - 4x = 0$$ $$4x(x^2 - 1) = 0$$ $$4x(x - 1)(x + 1) = 0$$ Критические точки: x = -1, x = 0, x = 1. Теперь определим знаки производной на интервалах:

• x < -1: Например, x = -2. y' = 4(-2)((-2)² - 1) = 4(-2)(4 - 1) = -8(3) = -24 < 0 (функция убывает).
• -1 < x < 0: Например, x = -0.5. y' = 4(-0.5)((-0.5)² - 1) = -2(0.25 - 1) = -2(-0.75) = 1.5 > 0 (функция возрастает).
• 0 < x < 1: Например, x = 0.5. y' = 4(0.5)((0.5)² - 1) = 2(0.25 - 1) = 2(-0.75) = -1.5 < 0 (функция убывает).
• x > 1: Например, x = 2. y' = 4(2)((2)² - 1) = 8(4 - 1) = 8(3) = 24 > 0 (функция возрастает).

Функция убывает на интервалах $$(-\infty, -1)$$ и $$(0, 1)$$. Функция возрастает на интервалах $$(-1, 0)$$ и $$(1, +\infty)$$.

Ответ: Функция убывает на интервалах $$(-\infty; -1)$$ и $$(0; 1)$$. Функция возрастает на интервалах $$(-1; 0)$$ и $$(1; +\infty)$$.