3 вариант Решите неравенства 8+x 1.- ≤0 x-3 (x+2)(2x+9) 2. <0 5-x x(x+7) 3. >0 4-x x-16x² 4. ≥0 10-3x x²-64 5. >0 9-x 9x²-36 6. <0 1-x 7.x³-14x²-15x<0 x-4 8. ≤-1 2x+1

Решим каждое неравенство.

1. $$\frac{8+x}{x-3} \leq 0$$ Нули: $$x = -8, x = 3$$ Метод интервалов:

           +      -      +
       -----(-8)-----(3)-----> x
       

   Решение: $$x \in [-8; 3)$$
2. $$\frac{(x+2)(2x+9)}{5-x} < 0$$ $$\frac{(x+2)(2x+9)}{-(x-5)} < 0$$ $$\frac{(x+2)(2x+9)}{x-5} > 0$$ Нули: $$x = -2, x = -\frac{9}{2}, x = 5$$ Метод интервалов:

           -      +      -      +
       ----(-9/2)----(-2)-----(5)-----> x
       

   Решение: $$x \in (-\frac{9}{2}; -2) \cup (5; +\infty)$$
3. $$\frac{x(x+7)}{4-x} > 0$$ $$\frac{x(x+7)}{-(x-4)} > 0$$ $$\frac{x(x+7)}{x-4} < 0$$ Нули: $$x = 0, x = -7, x = 4$$ Метод интервалов:

           -      +      -      +
       -----(-7)-----(0)-----(4)-----> x
       

   Решение: $$x \in (-\infty; -7) \cup (0; 4)$$
4. $$\frac{x-16x^2}{10-3x} \geq 0$$ $$\frac{x(1-16x)}{10-3x} \geq 0$$ $$\frac{-16x(x-\frac{1}{16})}{-3(x-\frac{10}{3})} \geq 0$$ $$\frac{x(x-\frac{1}{16})}{x-\frac{10}{3}} \geq 0$$ Нули: $$x = 0, x = \frac{1}{16}, x = \frac{10}{3}$$ Метод интервалов:

           +      -      +      -
       -----(0)-----(1/16)-----(10/3)-----> x
       

   Решение: $$x \in [0; \frac{1}{16}] \cup (\frac{10}{3}; +\infty)$$
5. $$\frac{x^2-64}{9-x} > 0$$ $$\frac{(x-8)(x+8)}{-(x-9)} > 0$$ $$\frac{(x-8)(x+8)}{x-9} < 0$$ Нули: $$x = 8, x = -8, x = 9$$ Метод интервалов:

           -      +      -      +
       ----(-8)-----(8)-----(9)-----> x
       

   Решение: $$x \in (-\infty; -8) \cup (8; 9)$$
6. $$\frac{9x^2-36}{1-x} < 0$$ $$\frac{9(x^2-4)}{-(x-1)} < 0$$ $$\frac{(x-2)(x+2)}{x-1} > 0$$ Нули: $$x = 2, x = -2, x = 1$$ Метод интервалов:

           -      +      -      +
       ----(-2)-----(1)-----(2)-----> x
       

   Решение: $$x \in (-2; 1) \cup (2; +\infty)$$
7. $$x^3-14x^2-15x < 0$$ $$x(x^2-14x-15) < 0$$ $$x(x+1)(x-15) < 0$$ Нули: $$x = 0, x = -1, x = 15$$ Метод интервалов:

           -      +      -      +
       ----(-1)-----(0)-----(15)-----> x
       

   Решение: $$x \in (-\infty; -1) \cup (0; 15)$$
8. $$\frac{x-4}{2x+1} \leq -1$$ $$\frac{x-4}{2x+1} + 1 \leq 0$$ $$\frac{x-4 + 2x+1}{2x+1} \leq 0$$ $$\frac{3x-3}{2x+1} \leq 0$$ $$\frac{3(x-1)}{2x+1} \leq 0$$ $$\frac{x-1}{2x+1} \leq 0$$ Нули: $$x = 1, x = -\frac{1}{2}$$ Метод интервалов:

           +      -      +
       ----(-1/2)-----(1)-----> x
       

   Решение: $$x \in (-\frac{1}{2}; 1]$$

Ответ: Решения неравенств указаны выше.