Васе на день рождения пришли гости Коля, Толя, Саша, Антон и Паша. Все дети сели за круглый стол. Найдите вероятность того, что Вася будет сидеть рядом с Сашей.

Задание 6. Вероятность сидеть рядом за круглым столом

Дано:

• 8 человек: Вася, Коля, Толя, Саша, Антон, Паша + еще 2 человека (предположим, что всего 8 человек, так как обычно для такого рода задач берут большее число, но если исходить строго из условия, то 6 человек). Исходя из условия, мы имеем 6 человек: Вася, Коля, Толя, Саша, Антон, Паша.
• Дети сидят за круглым столом.

Найти: Вероятность того, что Вася будет сидеть рядом с Сашей.

Решение:

При решении задач с круглым столом общее число перестановок обычно считают равным \( (n-1)! \), где \( n \) - число человек.

В нашем случае \( n = 6 \) (Вася, Коля, Толя, Саша, Антон, Паша).

1. Общее количество возможных рассадок:
\( (6-1)! = 5! = 120 \) перестановок.
2. Количество рассадок, где Вася и Саша сидят рядом:
Рассмотрим Васю и Сашу как единое целое (пару). Теперь у нас \( n' = 5 \) объектов для рассадки (пара Вася-Саша и 4 других гостя). Число перестановок для \( n' = 5 \) объектов за круглым столом: \( (5-1)! = 4! = 24 \). Внутри пары Вася и Саша могут сидеть в двух порядках: Вася-Саша или Саша-Вася. Значит, количество благоприятных рассадок равно: \( 4! \times 2 = 24 \times 2 = 48 \).
3. Вероятность:
Вероятность того, что Вася и Саша будут сидеть рядом, равна отношению числа благоприятных рассадок к общему числу возможных рассадок: \( P = \frac{\text{Благоприятные рассадки}}{\text{Общее количество рассадок}} = \frac{48}{120} \)
4. Сократим дробь:
\( \frac{48}{120} = \frac{2 \times 24}{5 \times 24} = \frac{2}{5} \)

Ответ: 2/5.