Велосипедиста одновременно отправились в 96-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

Решение:

Дано:

• Расстояние \( S = 96 \) км.
• Пусть \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста (км/ч).
• Скорость первого велосипедиста \( v_1 = v_2 + 4 \) (км/ч).
• Время первого \( t_1 \).
• Время второго \( t_2 \).
• \( t_2 - t_1 = 4 \) часа.

Найти:

• Скорость первого велосипедиста \( v_1 \).

Решение:

1. Выразим время каждого велосипедиста через расстояние и скорость:
• \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{96}{v_2 + 4} \)
• \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{96}{v_2} \)
2. Подставим выражения для времени в уравнение \( t_2 - t_1 = 4 \):
• \( \frac{96}{v_2} - \frac{96}{v_2 + 4} = 4 \)
3. Умножим обе части уравнения на \( v_2(v_2 + 4) \) для избавления от знаменателей:
• \( 96(v_2 + 4) - 96v_2 = 4v_2(v_2 + 4) \)
4. Раскроем скобки и упростим:
• \( 96v_2 + 384 - 96v_2 = 4v_2^2 + 16v_2 \)
• \( 384 = 4v_2^2 + 16v_2 \)
5. Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 4:
• \( 4v_2^2 + 16v_2 - 384 = 0 \)
• \( v_2^2 + 4v_2 - 96 = 0 \)
6. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400 \)
• \( \sqrt{D} = 20 \)
7. Найдем скорость второго велосипедиста \( v_2 \):
• \( v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 20}{2} \)
• \( v_2 = \frac{-4 + 20}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) км/ч (отрицательный корень \( v_2 = \frac{-4 - 20}{2} = -12 \) не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).
8. Найдем скорость первого велосипедиста \( v_1 \):
• \( v_1 = v_2 + 4 = 8 + 4 = 12 \) км/ч

Ответ: Скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, равна 12 км/ч.