Верхний блок. Вариант В1: A(−2; 0), B(2; 2), C(4; −2), D(0; −4). Вариант В2: A(0; 4), B(4; 2), C(2; −2), D(−2; 0). 1) а) Найдите координаты и длину вектора a = AB + 3AD − 1/2 CA. б) Разложите вектор a по координатным векторам i и j.

Вариант В1.

1. Найдём векторы: \(\overrightarrow{AB}=(2-(-2);2-0)=(4;2)\), \(\overrightarrow{AD}=(0-(-2);-4-0)=(2;-4)\), \(\overrightarrow{CA}=((-2)-4;0-(-2))=(-6;2)\).

2. Подставим координаты в выражение: \(\vec a=(4;2)+3(2;-4)-\frac12(-6;2)=(4;2)+(6;-12)+(3;-1)=(13;-11)\).

3. Длина вектора: \(|\vec a|=\sqrt{13^2+(-11)^2}=\sqrt{290}\).

Разложение по координатным векторам: \(\vec a=13\vec i-11\vec j\).

Вариант В2.

1. \(\overrightarrow{AB}=(4-0;2-4)=(4;-2)\), \(\overrightarrow{AD}=(-2-0;0-4)=(-2;-4)\), \(\overrightarrow{CA}=(0-2;4-(-2))=(-2;6)\).

2. \(\vec a=(4;-2)+3(-2;-4)-\frac12(-2;6)=(4;-2)+(-6;-12)+(1;-3)=(-1;-17)\).

3. \(|\vec a|=\sqrt{(-1)^2+(-17)^2}=\sqrt{290}\).

Разложение по координатным векторам: \(\vec a=-\vec i-17\vec j\).