Верхний лист, 2 вариант: №1. Упростите: а) $\left(\frac{x}{x^2-4}-\frac{8}{x^2+2x}\right)$; б) $\left(\frac{x^2-2x}{4-x}+\frac{x+8}{x+2}\right)$. №2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: $\frac{2\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt7}$. №3. Решите иррациональное уравнение: $\sqrt{x-5}=\sqrt{3-x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Верхний лист, 2 вариант: №1. Упростите: а) $\left(\frac{x}{x^2-4}-\frac{8}{x^2+2x}\right)$; б)…$ Фото задания

Верхний лист, 2 вариант: №1. Упростите: а) $\left(\frac{x}{x^2-4}-\frac{8}{x^2+2x}\right)$; б) $\left(\frac{x^2-2x}{4-x}+\frac{x+8}{x+2}\right)$. №2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: $\frac{2\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt7}$. №3. Решите иррациональное уравнение: $\sqrt{x-5}=\sqrt{3-x}$.

Accepted Answer

№ 1.

а) Разложим знаменатели на множители: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2+2x=x(x+2)$. При $x\ne -2,0,2$:

$\frac{x}{(x-2)(x+2)}-\frac{8}{x(x+2)}=\frac{x^2-8(x-2)}{x(x-2)(x+2)}=\frac{x^2-8x+16}{x(x-2)(x+2)}=\frac{(x-4)^2}{x(x-2)(x+2)}.$

б) Здесь $x\ne4,-2$. Так как $4-x=-(x-4)$, имеем:

$\frac{x^2-2x}{4-x}+\frac{x+8}{x+2}=-\frac{x(x-2)(x+2)}{(x-4)(x+2)}+\frac{(x+8)(x-4)}{(x+2)(x-4)}.$

Приводим к общему знаменателю и складываем числители:

$\frac{-x(x-2)(x+2)+(x+8)(x-4)}{(x+2)(x-4)}=\frac{-x^3+3x^2+4x-32}{(x+2)(x-4)}.$

№ 2. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$\frac{2\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt7}\cdot\frac{\sqrt5+\sqrt7}{\sqrt5+\sqrt7}=\frac{2\sqrt{15}+2\sqrt{21}}{5-7}=-\sqrt{15}-\sqrt{21}.$

№ 3. Для существования корней необходимо одновременно $x-5\ge0$ и $3-x\ge0$, то есть $x\ge5$ и $x\le3$. Эти условия несовместимы, поэтому действительных решений нет.

Ответ: № 1а) $\frac{(x-4)^2}{x(x-2)(x+2)}$, $x\ne-2,0,2$; № 1б) $\frac{-x^3+3x^2+4x-32}{(x+2)(x-4)}$, $x\ne-2,4$; № 2) $-\sqrt{15}-\sqrt{21}$; № 3) решений нет.