37. Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?

**Ответ:** Утверждение не всегда верно. Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\). Пусть \(\angle A = \angle C = \alpha\) и \(\angle B = \beta\). Внешний угол при вершине \(A\) равен \(180^\circ - \alpha\). Нам нужно проверить, верно ли, что \(180^\circ - \alpha = 2\beta\) или \(180^\circ - \alpha = 2\alpha\). 1. Если \(180^\circ - \alpha = 2\beta\), то \(\alpha + 2\beta = 180^\circ\). Так как \(2\alpha + \beta = 180^\circ\) (сумма углов треугольника), то \(\alpha = \beta\). В этом случае треугольник равносторонний, и утверждение не всегда выполняется. 2. Если \(180^\circ - \alpha = 2\alpha\), то \(180^\circ = 3\alpha\), следовательно, \(\alpha = 60^\circ\). В этом случае треугольник равносторонний, и все его углы равны 60 градусам. Внешний угол равен 120 градусам, и он в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с ним. Но это только частный случай. **Вывод:** Утверждение верно только для равностороннего треугольника и неверно для произвольного равнобедренного треугольника.