40. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) проведена биссектриса \(AD\). Найдите углы этого треугольника, если \(\angle ADB = 110^\circ\).

**Решение:** 1. Поскольку \(ABC\) - равнобедренный треугольник с основанием \(AC\), то \(\angle BAC = \angle BCA\). 2. \(AD\) - биссектриса угла \(\angle BAC\), следовательно, \(\angle BAD = \angle DAC = \frac{1}{2} \angle BAC\). 3. Рассмотрим треугольник \(ADB\). Сумма его углов равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - \angle ADB\). 4. Из условия \(\angle ADB = 110^\circ\), значит, \(\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - 110^\circ = 70^\circ - \angle BAD\). 5. Поскольку \(\angle ABD = \angle ABC\), а \(\angle ABC = \angle ACB = \angle BAC\), то обозначим \(\angle BAC = x\). Тогда \(\angle BAD = \frac{x}{2}\) и \(\angle ABC = x\). 6. Подставляем в уравнение для \(\angle ABD\): \(x = 70^\circ - \frac{x}{2}\). Решаем уравнение: \(x + \frac{x}{2} = 70^\circ\), \(\frac{3x}{2} = 70^\circ\), \(x = \frac{2}{3} \cdot 70^\circ = \frac{140}{3}^\circ = 46\frac{2}{3}^\circ\). 7. Итак, \(\angle BAC = \angle BCA = 46\frac{2}{3}^\circ\). Тогда \(\angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot 46\frac{2}{3}^\circ = 180^\circ - 93\frac{1}{3}^\circ = 86\frac{2}{3}^\circ\). **Ответ:** Углы треугольника \(ABC\) равны \(46\frac{2}{3}^\circ\), \(46\frac{2}{3}^\circ\) и \(86\frac{2}{3}^\circ\).