4.346 Верны ли следующие равенства: a) 0,555... = \frac{5}{9}; б) 4,(148) = 4\frac{5}{27}; в) 0,0202... = \frac{2}{99}; г) 0,(12) = \frac{4}{33}; д) 0,41666... = \frac{5}{12}; е) 5,4(06) = 5\frac{67}{165}?

Проверим верность следующих равенств:

1. a) 0,555... = \(\frac{5}{9}\);

Пусть x = 0,555...

Тогда 10x = 5,555...

10x - x = 5,555... - 0,555...

9x = 5

x = \(\frac{5}{9}\)

Равенство верное.

2. б) 4,(148) = 4\(\frac{5}{27}\);

Пусть x = 0,(148) = 0,148148...

Тогда 1000x = 148,148148...

1000x - x = 148,148148... - 0,148148...

999x = 148

x = \(\frac{148}{999}\)

4,(148) = 4 + \(\frac{148}{999}\) = 4 + \(\frac{148 : 37}{999 : 37}\) = 4 + \(\frac{4}{27}\)

4\(\frac{5}{27}\) = 4 + \(\frac{5}{27}\)

4 + \(\frac{4}{27}\) ≠ 4 + \(\frac{5}{27}\)

Равенство неверное.

3. в) 0,0202... = \(\frac{2}{99}\);

Пусть x = 0,0202...

Тогда 100x = 2,0202...

100x - x = 2,0202... - 0,0202...

99x = 2

x = \(\frac{2}{99}\)

Равенство верное.

4. г) 0,(12) = \(\frac{4}{33}\);

Пусть x = 0,(12) = 0,1212...

Тогда 100x = 12,1212...

100x - x = 12,1212... - 0,1212...

99x = 12

x = \(\frac{12}{99}\) = \(\frac{4}{33}\)

Равенство верное.

5. д) 0,41666... = \(\frac{5}{12}\);

Пусть x = 0,41666...

Тогда 10x = 4,1666...

100x = 41,666...

100x - 10x = 41,666... - 4,1666...

90x = 37,5

x = \(\frac{37,5}{90}\) = \(\frac{375}{900}\) = \(\frac{5}{12}\)

Равенство верное.

6. е) 5,4(06) = 5\(\frac{67}{165}\)?

Пусть x = 0,4(06) = 0,40606...

10x = 4,0606...

1000x = 406,0606...

1000x - 10x = 406,0606... - 4,0606...

990x = 402

x = \(\frac{402}{990}\) = \(\frac{67}{165}\)

5,4(06) = 5 + \(\frac{67}{165}\)

5\(\frac{67}{165}\) = 5 + \(\frac{67}{165}\)

Равенство верное.

Ответ: Верны равенства a), в), г), д), е). Неверно равенство б).