Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.

Решение:

Пусть R - радиус сферы, d - диагональ прямоугольника, и x - расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника. Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, описанной около прямоугольника. Радиус этой окружности равен половине диагонали, то есть 8 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы, расстоянием от центра сферы до плоскости прямоугольника и радиусом окружности, описанной около прямоугольника. По теореме Пифагора:

$$x = \sqrt{R^2 - (d/2)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$$

Ответ: Расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника равно 6 см.