16. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, ДЛИНЫ которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Пусть длины дуг равны 3x, 4x и 11x. Сумма дуг равна длине окружности: 3x + 4x + 11x = 18x.

Центральные углы, опирающиеся на эти дуги, пропорциональны длинам дуг, поэтому углы треугольника, вписанного в окружность, пропорциональны этим длинам:

Угол напротив дуги 3x: \(\frac{1}{2} \cdot 3x\)

Угол напротив дуги 4x: \(\frac{1}{2} \cdot 4x\)

Угол напротив дуги 11x: \(\frac{1}{2} \cdot 11x\)

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[\frac{3x}{2} + \frac{4x}{2} + \frac{11x}{2} = 180\]

\[\frac{18x}{2} = 180\]

\[9x = 180\]

\[x = 20\]

Углы треугольника равны:

\[\frac{3 \cdot 20}{2} = 30^\circ\]

\[\frac{4 \cdot 20}{2} = 40^\circ\]

\[\frac{11 \cdot 20}{2} = 110^\circ\]

Меньшая сторона лежит напротив меньшего угла, то есть угла 30°.

По теореме синусов:

\[\frac{a}{\sin A} = 2R\]

\[R = \frac{a}{2 \sin A}\]

\[R = \frac{14}{2 \sin 30^\circ} = \frac{14}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 14\]

Ответ: 14

Проверка за 10 секунд: Нашли углы, применили теорему синусов.

Доп. профит: Знание теоремы синусов — ключ к решению задач с окружностями и треугольниками.