26) Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.

Решение:

1. Длина окружности равна $$2\pi R$$, где R - радиус окружности.

2. Дуги, на которые делят окружность вершины треугольника, относятся как 3:7:8, значит вся окружность делится на $$3+7+8=18$$ частей.

3. Меньшая из сторон треугольника равна 20 и лежит против меньшего угла. Меньший угол опирается на меньшую дугу. Длина меньшей дуги составляет $$ \frac{3}{18} = \frac{1}{6} $$ часть от всей окружности.

4. Центральный угол, опирающийся на меньшую дугу, равен $$ \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ} $$.

5. Меньшая сторона треугольника стягивает дугу в 60 градусов, а значит треугольник равносторонний и все его стороны равны.

6. Радиус описанной окружности около правильного треугольника:

$$ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$.

Ответ: $$\frac{20\sqrt{3}}{3}$$