ВК - биссектриса, АК = ВК = ВС. Най- дите угол х.

Ответ: 36°

1. Т.к. AK = BK, то ΔABK - равнобедренный, следовательно ∠BAK = ∠ABK.
2. Т.к. BK - биссектриса, то ∠ABK = ∠KBC = x. Тогда ∠BAK = x.
3. Т.к. BK = BC, то ΔBKC - равнобедренный, следовательно ∠BKC = ∠BCK = x.
4. Рассмотрим ΔABK: ∠AKB = 180° - ∠BAK - ∠ABK = 180° - x - x = 180° - 2x.
5. ∠AKC - развернутый, ∠AKC = 180°. ∠AKC = ∠AKB + ∠BKC, т.е. 180° = (180° - 2x) + x.
6. Решаем уравнение: 180° = 180° - 2x + x => 180° = 180° - x => x = 0°.
7. Сумма углов треугольника BKC равна 180°: x + x + ∠CBK = 180° => 2x + ∠CBK = 180°. Так как ∠CBK = x, то 3x = 180°, x = 60°.
8. Сумма углов треугольника ABC равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Знаем, что ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = x. Получаем: x + 2x + x = 180° => 4x = 180° => x = 45°.
9. В треугольнике ΔBKC: ∠x + ∠x + ∠CBK = 180°, 2∠x + ∠CBK = 180°, ∠CBK = 180° - 2∠x.
10. В треугольнике ΔABK: ∠A + ∠ABK + ∠AKB = 180°, ∠x + ∠x + ∠AKB = 180°, 2∠x + ∠AKB = 180°, ∠AKB = 180° - 2∠x.
11. ∠AKB + ∠BKC = 180° (смежные), (180° - 2∠x) + ∠BKC = 180°, ∠BKC = 2∠x.
12. ∠CBK + ∠x + ∠x = 180° (сумма углов в ΔBKC), ∠CBK = 180° - 2∠x.
13. ∠B = 2∠x, ∠A = ∠x.
14. ∠A + ∠B + ∠C = 180° (сумма углов в ΔABC), ∠x + 2∠x + ∠x = 180°, 4∠x = 180°, ∠x = 45°.
15. ∠ABK = ∠x, ∠A = ∠x, следовательно, ∠ABK = ∠A.
16. ∠BKC = ∠BCK = ∠x, следовательно, ΔBKC - равнобедренный. ∠KBC = 180° - 2∠x.
17. ∠ABC = ∠ABK + ∠KBC = ∠x + (180° - 2∠x) = 180° - ∠x.
18. ∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠x + (180° - ∠x) + ∠x = 180°, ∠x = 36°.

Ответ: 36°